En 1931, Gödel démontre que tout système formel suffisamment riche pour contenir l'arithmétique ne peut pas prouver sa propre cohérence. Le théorème d'incomplétude n'identifie pas un défaut de construction. Il révèle une propriété structurelle : l'impossibilité pour un système de se refermer sur lui-même.
Un système capable de prouver sa propre cohérence est nécessairement incohérent. La preuve de solidité détruit ce qu'elle garantit.
Un compilateur ne peut pas vérifier l'absence de bugs dans son propre code source, il lui faut un vérificateur externe, qui lui-même ne peut pas se vérifier. Ken Thompson l'a démontré en 1984 : un compilateur piégé peut insérer une porte dérobée dans tout programme qu'il compile, y compris dans sa propre prochaine version. La chaîne de confiance ne se referme pas.
Le mathématicien organise l'argument autour de son impossibilité.
Doctrine
Le trou n'est pas l'accident de l'argument. Il en est l'architecture. Chaque système se définit par ce qu'il ne peut pas démontrer.
Vecteur ouvert
Aucun système juridique ne peut se juger lui-même. Il faut une cour supérieure, qui elle-même ne peut pas statuer sur sa propre légitimité. La chaîne des recours ne se referme jamais. La constitution qui fonde le droit ne peut pas être fondée par le droit qu'elle fonde. Le trou de Gödel est-il un accident des systèmes formels, ou la condition de fonctionnement de tout système qui produit des règles sur lui-même ?
